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Método de Ruffini

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En álgebra, el Método de Ruffini (debido al italiano Paolo Ruffini) nos permite dividir un polinomio entre un binomial de la forma (xr) (siendo r un número entero). También nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (xr) (siendo r un número entero).

La Regla de Ruffini establece un método para división de un polinomio entre un binomio para obtener un cociente y el resto s.

El algoritmo es, de hecho, una división de dos polinomios (P(x) entre Q(x)).

Algoritmo generalEditar sección

Para dividir P(x) entre Q(x):

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) , los escribimos ordenados y completos con los grados de mayor a menor o viceversa. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (an), abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an                     
    |
    |      = bn-1                                
    |

3. sobre la línea en la primera posición de la derecha:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Sumamos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r      ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)  ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2      ...       = b0        = s
    |

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante (R(x)), el grado será menor que el grado de P(x). s será el resto.

También en la regla de Ruffini el divisor se multiplica por todos los números. Se ponen los números y se va poniendo el resultado. El resto siempre es el último número.

Ejemplo del Método de RuffiniEditar sección

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

1.Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

'2.'Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

'3.'Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

'4.'Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                                    
----|-----------------------------------------------
    |        1                            
    |


5.Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                 3                   
----|-----------------------------------------------
    |        1                            
    |


6.Sumamos los dos coeficientes.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                 3                   
----|-----------------------------------------------
    |        1        3                    
    |


7.Repetimos el proceso anterior.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                 3       9           
----|-----------------------------------------------
    |        1        3       6             
    |


Volvemos a repetir el proceso.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                 3       9        18   
----|-----------------------------------------------
    |        1        3       6        18    
    |


Volvemos a repetir.

    |        1        0      -3        0         2
    |                                    
 3  |                 3       9        18        54
----|-----------------------------------------------
    |        1        3       6        18        56
    |


8.El último número obtenido, 56 , es el resto.

9.El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

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